| Περίληψη : | Η θεωρία των παιγνίων είναι ένα κλάδος των μαθηματικών και της οικονομίας που μελετά τις στρατηγικές αλληλεπιδράσεις μεταξύ λογικών ληπτών αποφάσεων. Εμφανίστηκε στις αρχές του 20ού αιώνα, με συμβολές από διάφορους μελετητές. Οι ρίζες της θεωρίας των παιγνίων μπορούν να εντοπιστούν στο έργο μαθηματικών όπως ο Emile Borel και ο Antoine Cournot, οι οποίοι εξέτασαν μαθηματικά έννοιες που σχετίζονται με τη στρατηγική λήψη αποφάσεων. Η σύγχρονη φορμαλιστική ανάπτυξη της θεωρίας των παιγνίων ξεκίνησε με το κορυφαίο βιβλίο "Θεωρία των Παιγνίων και Οικονομική Συμπεριφορά" των John von Neumann και Oskar Morgenstern. Εισήγαγαν το έννοια των παιγνίων μηδενικού αθροίσματος, των παιγνίων εκτεταμένης μορφής και της θεωρίας της ωφέλειας, θεμελιώνοντας τη βάση για περαιτέρω εξελίξεις. Ο John Nash εισήγαγε την έννοια της ισορροπίας Nash στη διδακτορική του διατριβή, η οποία έγινε μία από τις σημαντικότερες συνεισφορές στη θεωρία των παιγνίων. Η ισορροπία Nash περιγράφει μια κατάσταση στην οποία η στρατηγική κάθε παίκτη είναι βέλτιστη δεδομένων των στρατηγικών των άλλων παικτών. Η θεωρία των παιγνίων βρήκε εφαρμογές σε διάφορους τομείς εκτός της οικονομίας, συμπεριλαμβανομένων της πολιτικής επιστήμης, της βιολογίας, της επιστήμης των υπολογιστών και της κοινωνιολογίας. Χρησιμοποιήθηκε για να αναλύσει τη συμπεριφορά ψηφοφορίας, τις διαπραγματεύσεις, τις δημοπρασίες, τις στρατηγικές τιμολόγησης και άλλα. Γενικά, η θεωρία των παιγνίων έχει γίνει ένα ισχυρό εργαλείο για την κατανόηση στρατηγικών αλληλεπιδράσεων και διαδικασιών λήψης αποφάσεων σε διάφορους τομείς, συμβάλλοντας τόσο στις θεωρητικές έννοιες όσο και στις πρακτικές εφαρμογές.Σε αυτήν τη διατριβή, επικεντρωνόμαστε σε παιγνίδια μη συνεργατικά με πεπερασμένο αριθμό παικτών. Ο John Nash απέδειξε ότι αυτή η κατηγορία παιγνιδιών έχει τουλάχιστον μία ισορροπία Nash. Ωστόσο, πολλά παιγνίδια σε αυτήν την κατηγορία πάσχουν από το πρόβλημα των πολλαπλών ισορροπιών Nash. Αυτό το πρόβλημα τόνισε ο McLennan, ο οποίος έδειξε ότι ο αριθμός των ισορροπιών Nash σε παιγνίδια κανονικής μορφής μικρού μεγέθους είναι συχνά σημαντικός κατά μέσο όρο. Για παράδειγμα, ο μέσος αριθμός ισορροπιών Nash σε ένα παιχνίδι με 4 παίκτες, ο καθένας με 6 στρατηγικές, εκτιμάται ότι είναι 2,037. Ο βασικός μας στόχος είναι να περιγράψουμε και να εξετάσουμε μια μέθοδο καλλιέργειας, βασισμένη στο έργο των Harsanyi και Selten, που στοχεύει στην αντιμετώπιση αυτού του προβλήματος επιλέγοντας μια μοναδική, λογική ισορροπία Nash. Αυτή η μέθοδος καλλιέργειας υποθέτει ότι οι παίκτες έχουν στην αρχή μια υποκειμενική πίστη για την πιθανή συμπεριφορά των άλλων παικτών. Αυτό αιχμαλωτίζεται μαθηματικά από μια κατανομή πιθανοτήτων που ονομάζεται προηγούμενη πιθανοτική κατανομή.
Game theory is a branch of mathematics and economics that studies strategicinteractions among rational decision-makers. It originated in the early 20th century, with contributions from various scholars. The roots of game theory can be traced back to the work of mathematicians like Emile Borel and Antoine Cournot, who explored mathematical concepts related to strategic decision-making. The modern formalization of game theory began with the groundbreaking book "Theory of Games and Economic Behavior" by John von Neumann and Oskar Morgenstern. They introduced the concept of zero-sum games, extensive form games, and utility theory, laying the foundation for further developments. John Nash introduced the concept of Nash equilibrium in his doctoral thesis, which became one of the most significant contributions to game theory. Nash equilibrium describes a situation in which each player's strategy is optimal given the strategies of the other players. Game theory found applications in various fields beyond economics, including political science, biology, computer science, and sociology. It has been used to analyze voting behavior, bargaining, auctions, pricing strategies, and more. Overall, game theory has become a powerful tool for understanding strategic interactions and decision-making processes in diverse fields, contributing to both theoretical insights and practical applications.In this dissertation, we concentrate on finite n-person non-cooperative games. John Nash proved that this class of games has at least one Nash equilibrium. However, many games in this class suffer from the problem of multiple Nash equilibria. This issue was highlighted by McLennan, who demonstrated that the number of Nash equilibria in normal form games of modest size is often substantial on average. For example, the mean number of Nash equilibria in a game with 4 agents, each having 6 strategies, is estimated to be 2.037. Our primary focus is to describe and investigate a refinement method, based on the work of Harsanyi and Selten, aimed at addressing this problem by selecting a unique, rational Nash equilibrium. This refinement method assumes that the players have at the beginning, a subjective belief about the likely behavior of the other players. This is captured mathematically by a probability distribution known as the prior probability distribution.The dissertation starts with some basic concepts on finite n-person non-cooperative games and presents the Nash existence theorem. It is followed by the linear tracing procedure, which is a method that generally applies to most games but not universally. Recognizing its limitations, we introduce a generalization of the linear tracing procedure known as the logarithmic tracing procedure, which guarantees a solution in all cases.
|
|---|
Copyright © 2013 Βιβλιοθήκη Ο.Π.Α. Με την επιφύλαξη παντός δικαιώματος.