Solving partial integro-differential equations using physics-informed neural networks

Abstract

This thesis investigates the application of Physics-Informed Neural Networks (PINNs) to solve partial integro-differential equations (PIDEs) arising in financial mathematics, with particular focus on credit risk modeling. Traditional numerical methods for solving PIDEs, such as finite difference schemes, face computational challenges when dealing with jump-diffusion processes, especially in real-time applications requiring rapid probability-of-default calculations. This work develops a comprehensive framework for approximating solutions to PIDEs governing Lévy-driven Ornstein–Uhlenbeck processes using deep neural networks. The methodology incorporates the governing equations directly into the neural network training process through a composite loss function that enforces the PIDE residual, boundary conditions, and terminal conditions simultaneously. The experimental validation demonstrates that PINNs successfully learn accurate approximations of probability-of-default functions for jump-diffusion models. Comparison with Monte Carlo simulations validates that the solution learned by the PINN is indeed realistic. Most significantly, the trained PINN achieves computational speedups of over 3,600 times compared to traditional finite difference methods, reducing inference time from approximately 98 seconds to 0.027 seconds while maintaining comparable accuracy. The results establish PINNs as a viable alternative to conventional numerical methods for solving financial PIDEs, particularly in scenarios requiring rapid evaluation across varying market conditions. The computational efficiency gains make sophisticated jump-diffusion models practically viable for real-time risk management applications, including algorithmic trading, portfolio optimization, and regulatory stress testing. This work contributes to the growing intersection of physics-informed machine learning and quantitative finance, demonstrating how modern deep learning techniques can address fundamental computational challenges in modeling dynamic systems governed by physical laws.Αυτή η διπλωματική εργασία διερευνά την εφαρμογή Νευρωνικών Δικτύων Ενημερωμένων από τη Φυσική (Physics-Informed Neural Networks - PINNs) για την επίλυση μερικών ολοκληρο-διαφορικών εξισώσεων (PIDEs), οι οποίες προκύπτουν στα χρηματοοικονομικά μαθηματικά, με ιδιαίτερη εστίαση στη μοντελοποίηση πιστωτικού κινδύνου. Οι παραδοσιακές αριθμητικές μέθοδοι για την επίλυση PIDEs, όπως τα σχήματα πεπερασμένων διαφορών, αντιμετωπίζουν υπολογιστικές προκλήσεις όταν ασχολούνται με διαδικασίες άλματος-διάχυσης, ειδικά σε εφαρμογές πραγματικού χρόνου που απαιτούν γρήγορους υπολογισμούς πιθανότητας αθέτησης. Η εργασία αυτή αναπτύσσει ένα ολοκληρωμένο πλαίσιο για την προσέγγιση λύσεων σε PIDEs που διέπουν τις διαδικασίες Ornstein-Uhlenbeck οδηγούμενες από διαδικασίες Lévy, χρησιμοποιώντας βαθιά νευρωνικά δίκτυα. Η μεθοδολογία ενσωματώνει τις εξισώσεις που υπαγορεύουν τις εν λόγω διαδικασίες απευθείας στη διαδικασία εκπαίδευσης του νευρωνικού δικτύου μέσω μιας σύνθετης συνάρτησης κόστους, η οποία επιβάλλει ταυτόχρονα το υπόλοιπο της PIDE, τις συνοριακές συνθήκες και τις τελικές συνθήκες. Η πειραματική αξιολόγηση δείχνει ότι τα PINNs μαθαίνουν επιτυχώς ακριβείς προσεγγίσεις των συναρτήσεων πιθανότητας αθέτησης για μοντέλα άλματος-διάχυσης. Η σύγκριση με προσομοιώσεις Monte Carlo επικυρώνει ότι η λύση που μαθαίνει το PINN είναι πραγματικά ρεαλιστική. Το σημαντικότερο είναι ότι το εκπαιδευμένο PINN επιτυγχάνει υπολογιστικές επιταχύνσεις άνω των 3.600 φορών σε σύγκριση με τις παραδοσιακές μεθόδους πεπερασμένων διαφορών, μειώνοντας τον χρόνο υπολογισμού της λύσης από περίπου 98 δευτερόλεπτα σε 0,027 δευτερόλεπτα, διατηρώντας παρόμοια ακρίβεια. Τα αποτελέσματα καθιστούν τα PINNs μια βιώσιμη εναλλακτική λύση στις συμβατικές αριθμητικές μεθόδους για την επίλυση χρηματοοικονομικών PIDEs, ιδιαίτερα σε σενάρια που απαιτούν ταχεία αξιολόγηση σε διαφορετικές συνθήκες αγοράς. Τα οφέλη υπολογιστικής απόδοσης καθιστούν τα εξελιγμένα μοντέλα άλματος-διάχυσης πρακτικά βιώσιμα για εφαρμογές διαχείρισης κινδύνου σε πραγματικό χρόνο, συμπεριλαμβανομένων των αλγοριθμικών συναλλαγών, της βελτιστοποίησης χαρτοφυλακίου και των ρυθμιστικών δοκιμών αντοχής. Αυτή η εργασία συμβάλλει στη διευρυνόμενη τομή της φυσικά ενημερωμένης μηχανικής μάθησης και των ποσοτικών χρηματοοικονομικών, αποδεικνύοντας πώς οι σύγχρονες τεχνικές βαθιάς μάθησης μπορούν να αντιμετωπίσουν θεμελιώδεις υπολογιστικές προκλήσεις στη μοντελοποίηση δυναμικών συστημάτων που διέπονται από φυσικούς νόμους.