Topological data analysis, persistence landscapes and financial bubbles: the case of cryptocurrencies

Abstract

Η δομή της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι διπλή. Το πρώτο μέρος αποτελείται από τη μέθοδο PSY (Phillips, Shi, Yu), η οποία εφαρμόζεται στις λογαριθμικές τιμές, ενώ το δεύτερο μέρος είναι η εφαρμογή της Τοπολογικής Ανάλυσης Δεδομένων στις λογαριθμικές αποδόσεις των δεδομένων μας. Οι περίοδοι φουσκών για κάθε υπό εξέταση κρυπτονόμισμα εξάγονται με τη διαδικασία PSY. Η τεχνική των συρόμενων παραθύρων, έπειτα, μας βοηθά να κατασκευάσουμε νέφη σημείων κάθε πιθανού ζεύγους των λογαριθμικών αποδόσεων των τιμών των κρυπτονομισμάτων, καθώς και του συνόλου τους. Παίρνουμε δύο διαφορετικά μεγέθη συρόμενων παραθύρων, για διαφορετικούς λόγους το κάθε ένα, ένα μεγέθους 105 παρατηρήσεων και ένα 200 παρατηρήσεων. Η δυνατότητα μιας βέλτιστης επιλογής μεγέθους παραθύρου μπορεί να ερευνηθεί περαιτέρω. Εφαρμόζουμε τη διαδικασία της τοπολογικής ανάλυσης δεδομένων στα προαναφερθέντα νέφη σημείων και παίρνουμε τα επίμονα διαγράμματα τους και τα αντίστοιχα τοπία τους. Ποσοτικοποιούμε τα επίμονα τοπία μέσω των Lp-νορμών. Δεν καταλήγουμε στα αναμενόμενα αποτελέσματα. Γι' αυτόν το λόγο, χρησιμοποιούμε μέσω των EGARCH(1, 1) μοντέλων τη δεσμευμένη διακύμανση των κανονικοποιημένων L2-νορμών. Παρατηρούμε έντονη μεταβλητότητα στις δεσμευμένες διακυμάνσεις των κανονικοποιημένων L2-νορμών κατά τη διάρκεια μεγάλων περιόδων φουσκών. Αυτό το αποτέλεσμα είναι απαραίτητο για μελλοντική έρευνα, η οποία μπορεί να οδηγήσει σε ενδιαφέρουσα συμπεράσματα στη μαθηματική χρηματοοικονομική, την οικονομετρία και άλλα παρόμοια πεδία.

The structure of this dissertation is twofold. Its first part consists of the PSY (Phillips, Shi, Yu) method, which is applied on the logarithmic prices, while its second one is the implementation of TDA (Topological Data Analysis) on the logarithmic returns of our data. The bubble periods of each cryptocurrency of the data under study are extracted by the PSY procedure. The technique of sliding windows helps us to construct point clouds of every possible pair of the logarithmic returns of cryptocurrencies as well as the ensemble of them. We take two different sizes of sliding windows for different reasons, one of 105 observations and one of 200 observations. The possibility of an optimized selection for the number of observations can be further investigating. We implement TDA on the aforesaid point clouds and we get their persistence diagrams and their corresponding landscapes. We quantify the persistence landscapes with Lp-norms. We do not reach the expected results, albeit we use the EGARCH(1, 1) filtered volatility of normalized L2-norms. We observe a great deal of volatility in conditional variances of normalized L2-norms of the persistence landscapes during large periods of bubbles. This result is essential for future research, which may lead to intriguing consequences in mathematical finance, econometrics and other similar fields.