AUEB Library - Digital Repository

PYXIDA Institutional Repository
and Digital Library

Username
Password

Collections :	Ιδρυματικό Αποθετήριο ΟΠΑ / AUEB Institutional Repository Σχολή Επιστημών και Τεχνολογίας της Πληροφορίας / School of Informatics Τμήμα Στατιστικής / Department of Statistics Μεταπτυχιακές Εργασίες / Postgraduate dissertations

Title :	Itô stochastic integral and applications

Alternative Title :	Itô στοχαστικό ολοκλήρωμα και εφαρμογές

Creator :	Ψυχογυιός, Λεωνίδας Psychogyios, Leonidas

Contributor :	Vakeroudis, Stavros (Επιβλέπων καθηγητής) Yannacopoulos, Athanasios (Εξεταστής) Zazanis, Michael (Εξεταστής) Athens University of Economics and Business, Department of Statistics (Degree granting institution)

Type :	Text

Extent :	87p.

Language :	en

Identifier :	http://www.pyxida.aueb.gr/index.php?op=view_object&object_id=11521

Abstract :	Μία στοχαστική ανέλιξη, είναι κατά κάποιον τρόπο μία συλλογή από μονοπάτια στον χρόνο, που επιλέγονται στα πλαίσια κάποιου νόμου (δηλαδή, μέτρου πιθανότητας). Τα μονοπάτια αυτά μπορούν να είναι είτε διακριτά –πχ ακολουθίες, είτε συναρτήσεις ορισμένες σε διαστήματα. Στην τελευταία περίπτωση έχουμε αυτό που λέμε στοχαστικές ανελίξεις συνεχούς χρόνου. Και αυτές μας απασχολούν σε αυτό το κείμενο.Η ανάλυση –ως κλάδος των μαθηματικών, προσφέρει χοντρικά, διαδικασίες με τις οποίες μπορούμε να απαντήσουμε σε προβλήματα εύρεσης ορίων: Δηλαδή, προς τα πού τείνει να πάει μία συνάρτηση; Ή αν μας δόσουν μια συλλογή συναρτήσεων, μπορούμε να εξάγουμε αποτελέσματα για το αν αυτή η συλλογή συγκλίνει κάπου; Η συμπάγεια παίζει θεμελιώδη ρόλο προς αυτή την κατεύθυνση.Έχοντας αυτό υπ' όψιν, αναζητούμε επιχειρήματα συμπάγειας, ώστε να πάρουμε αποτελέσματα ορίων. Στις πιθανότητες, η έννοια του Martingale είναι κατά κάποιο τρόπο ένα επιχείρημα συμπάγειας σε μια στοχαστική ανέλιξη: Αν πάρουμε την εικόνα μιας στοχαστικής ανέλιξης σε μια δεδομένη χρονική στιγμή και την κοιτάξουμε μέσα από την πληροφορία μιας πρότερης κατάστασης, θα ξαναπέσουμε πάνω στην πρότερη αυτή στιγμή. Καθόλου τυχαία, αυτό το επιχείρημα συμπάγειας, έρχεται συχνά ως φυσικός νόμος σε πληθώρα εφαρμογών: από τυχερά παιχνίδια, πειράματα φυσικής, μέχρι τις μετοχές στο χρηματιστήριο.Παρά τις καλές ιδιότητες και τη φυσικότητα των Martingales, είναι αδύνατο να θέσουμε σε λειτουργία ένα από τα βασικότερα εργαλεία της ανάλυσης: το ολοκλήρωμα. Ακόμα και τα συνεχή Martingales (δηλαδή ανελίξεις των οποίων οι τροχιές οι συνεχείς συναρτήσεις) είναι απρόσφοροι ολοκληρωτές σε ολοκληρώματα Lebesgue-Stieltjes. Εδώ είναι που έρχεται το ολοκλήρωμα Itô.Το ολοκλήρωμα Itô, είναι μία γενίκευση λοιπόν της ολοκλήρωσης Lebesgue-Stieltjes πάνω σε μία ολόκληρη στοχαστική ανέλιξη. Μας δίνει το εργαλείο πάνω στο οποίο μπορούμε να χτίσουμε διαφορικές εξισώσεις για στοχαστικές ανελίξεις και κατά συνέπεια, εργαλεία με τα οποία μπορούμε να προβλέψουμε την πορεία μιας ανέλιξης, ενός τυχαίου φυσικού συστήματος κλπ.Εμείς εδώ θα παρουσιάσουμε το ολοκλήρωμα Itô για συνεχή Martingales και θα δούμε μερικές βασικές εφαρμογές του. Προτιμήσαμε να ορίσουμε το ολοκλήρωμα μέσω της τετραγωνικής κύμανσης ενός martingale.Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε τη γενική θεωρία που θα μας χρειαστεί καθώς και ορίζουμε την έννοια της τετραγωνικής κύμανσης.Στο δεύτερο κεφάλαιο, δίνουμε πολύ συνοπτικά, την έννοια της κίνησης Brown. Πρόκειται για το βασικότερο πρότυπο συνεχούς Martingale και ίσως τον κυριότερο ολοκληρωτή στο ολοκλήρωμα Itô. Η κίνηση Brown δεν είναι τίποτα άλλο από τη συνεχή έκδοση του τυχαίου περιπάτου.Στο τρίτο κεφάλαιο, είμαστε έτοιμοι να ορίσουμε το στοχαστικό ολοκλήρωμα για τα συνεχή Martingales και να δώσουμε ένα τύπο μέσω του οποίου μπορούμε να υπολογίζουμε στοχαστικά ολοκληρώματα, με έναν τρόπο παρόμοιο με τον οποίο αναζητούμε αρχικές συναρτήσεις στην κλασσική ολοκλήρωση. Πρόκειται για τον περίφημο τύπο του Itô.Στο τέταρτο κεφάλαιο θα δούμε τις πρώτες βασικές εφαρμογές αυτού του τύπου. Μία βασική έννοια που θα μας απασχολήσει είναι τα εκθετικά Martingales, οι νόμοι που αυτά επάγουν και πώς μέσα από αυτούς τους νόμους μπορούμε να δούμε ξανά άλλα Martingales. Θα φτάσουμε λοιπόν τελικά –και θα σταματήσουμε, στο Θεώρημα Girsanov, παρουσιασμένο στην πιο σύγχρονή του εκδοχή. A stochastic process is, in some way, a collection of paths evolving to time, chosen within some law (ie, probability measure). These paths can be either discrete –eg sequences, or functions defined on intervals. In the latter case we get what we call continuous-time stochastic processes. And this is the object of study in this text.Analysis as a branch of mathematics, offers roughly, procedures by which we can respond in limit-finding problems: That is, where a function is about to converge to? Or if we are given a collection of functions, can we extract results about the convergence of this collection? Compactness plays a fundamental role in this direction.With this in mind, we look for compactness arguments so that we are lead to existence of limits. In probabilities, the concept of Martingale is more or less a compactness argument about a stochastic process: If we get the instance of a stochastic process at a given moment in time and look at it through the information of a previous moment, we'll fall back on the instance of the process at that previous moment. Not by chance, this argument of compactness, often comes as a natural law in a wide range of applications: from game theory, physics experiments, to stocks on the stock market.Despite the nice properties and naturality of Martingales, it is impossible to put into operation one of the most fundamental tools of analysis: the integral. Even continuous Martingales (i.e. processes whose trajectories are continuous functions) are inappopriate integrators in Lebesgue-Stieltjes integrals. This is where the Itô integral comes in.The Itô integral is therefore a generalization of the Lebesgue-Stieltjes integral over a whole stochastic process. It gives us the tools on which we can build differential equations for stochastic processes and consequently, tools with which we can predict the evolution of a stochastic process, a random natural system, etc.We here present the Itô integral for continuous Martingales and see some fundamental applications of it. We preferred to define the integral using the quadratic variation of a martingale.In the first chapter we present the general theory we will need as well as define the idea of quadratic variation.In the second chapter, we give very briefly the definition of Brownian motion. This is the most fundamental continuous Martingale pattern and perhaps the principal integrator in the Itô integral. Brownian motion is nothing other than the continuous version of the random walk.In the third chapter, we are ready to define the stochastic integral for continuous Martingales and to give a formula through which we can evaluate stochastic integrals in a similar way that we seek for antiderivatives in the classical integration theory. This is thefamous Itô formula.In the fourth chapter we will see the first applications of this formula. A key notion thatwill concern us is that of exponential Martingales, the laws they induce and how through these laws we can look at other Martingales. So we'll finally get –and stop, to the Girsanov Theorem, presented in its most modern version.

Abstract :

Μία στοχαστική ανέλιξη, είναι κατά κάποιον τρόπο μία συλλογή από μονοπάτια στον χρόνο, που επιλέγονται στα πλαίσια κάποιου νόμου (δηλαδή, μέτρου πιθανότητας). Τα μονοπάτια αυτά μπορούν να είναι είτε διακριτά –πχ ακολουθίες, είτε συναρτήσεις ορισμένες σε διαστήματα. Στην τελευταία περίπτωση έχουμε αυτό που λέμε στοχαστικές ανελίξεις συνεχούς χρόνου. Και αυτές μας απασχολούν σε αυτό το κείμενο.Η ανάλυση –ως κλάδος των μαθηματικών, προσφέρει χοντρικά, διαδικασίες με τις οποίες μπορούμε να απαντήσουμε σε προβλήματα εύρεσης ορίων: Δηλαδή, προς τα πού τείνει να πάει μία συνάρτηση; Ή αν μας δόσουν μια συλλογή συναρτήσεων, μπορούμε να εξάγουμε αποτελέσματα για το αν αυτή η συλλογή συγκλίνει κάπου; Η συμπάγεια παίζει θεμελιώδη ρόλο προς αυτή την κατεύθυνση.Έχοντας αυτό υπ' όψιν, αναζητούμε επιχειρήματα συμπάγειας, ώστε να πάρουμε αποτελέσματα ορίων. Στις πιθανότητες, η έννοια του Martingale είναι κατά κάποιο τρόπο ένα επιχείρημα συμπάγειας σε μια στοχαστική ανέλιξη: Αν πάρουμε την εικόνα μιας στοχαστικής ανέλιξης σε μια δεδομένη χρονική στιγμή και την κοιτάξουμε μέσα από την πληροφορία μιας πρότερης κατάστασης, θα ξαναπέσουμε πάνω στην πρότερη αυτή στιγμή. Καθόλου τυχαία, αυτό το επιχείρημα συμπάγειας, έρχεται συχνά ως φυσικός νόμος σε πληθώρα εφαρμογών: από τυχερά παιχνίδια, πειράματα φυσικής, μέχρι τις μετοχές στο χρηματιστήριο.Παρά τις καλές ιδιότητες και τη φυσικότητα των Martingales, είναι αδύνατο να θέσουμε σε λειτουργία ένα από τα βασικότερα εργαλεία της ανάλυσης: το ολοκλήρωμα. Ακόμα και τα συνεχή Martingales (δηλαδή ανελίξεις των οποίων οι τροχιές οι συνεχείς συναρτήσεις) είναι απρόσφοροι ολοκληρωτές σε ολοκληρώματα Lebesgue-Stieltjes. Εδώ είναι που έρχεται το ολοκλήρωμα Itô.Το ολοκλήρωμα Itô, είναι μία γενίκευση λοιπόν της ολοκλήρωσης Lebesgue-Stieltjes πάνω σε μία ολόκληρη στοχαστική ανέλιξη. Μας δίνει το εργαλείο πάνω στο οποίο μπορούμε να χτίσουμε διαφορικές εξισώσεις για στοχαστικές ανελίξεις και κατά συνέπεια, εργαλεία με τα οποία μπορούμε να προβλέψουμε την πορεία μιας ανέλιξης, ενός τυχαίου φυσικού συστήματος κλπ.Εμείς εδώ θα παρουσιάσουμε το ολοκλήρωμα Itô για συνεχή Martingales και θα δούμε μερικές βασικές εφαρμογές του. Προτιμήσαμε να ορίσουμε το ολοκλήρωμα μέσω της τετραγωνικής κύμανσης ενός martingale.Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε τη γενική θεωρία που θα μας χρειαστεί καθώς και ορίζουμε την έννοια της τετραγωνικής κύμανσης.Στο δεύτερο κεφάλαιο, δίνουμε πολύ συνοπτικά, την έννοια της κίνησης Brown. Πρόκειται για το βασικότερο πρότυπο συνεχούς Martingale και ίσως τον κυριότερο ολοκληρωτή στο ολοκλήρωμα Itô. Η κίνηση Brown δεν είναι τίποτα άλλο από τη συνεχή έκδοση του τυχαίου περιπάτου.Στο τρίτο κεφάλαιο, είμαστε έτοιμοι να ορίσουμε το στοχαστικό ολοκλήρωμα για τα συνεχή Martingales και να δώσουμε ένα τύπο μέσω του οποίου μπορούμε να υπολογίζουμε στοχαστικά ολοκληρώματα, με έναν τρόπο παρόμοιο με τον οποίο αναζητούμε αρχικές συναρτήσεις στην κλασσική ολοκλήρωση. Πρόκειται για τον περίφημο τύπο του Itô.Στο τέταρτο κεφάλαιο θα δούμε τις πρώτες βασικές εφαρμογές αυτού του τύπου. Μία βασική έννοια που θα μας απασχολήσει είναι τα εκθετικά Martingales, οι νόμοι που αυτά επάγουν και πώς μέσα από αυτούς τους νόμους μπορούμε να δούμε ξανά άλλα Martingales. Θα φτάσουμε λοιπόν τελικά –και θα σταματήσουμε, στο Θεώρημα Girsanov, παρουσιασμένο στην πιο σύγχρονή του εκδοχή.
A stochastic process is, in some way, a collection of paths evolving to time, chosen within some law (ie, probability measure). These paths can be either discrete –eg sequences, or functions defined on intervals. In the latter case we get what we call continuous-time stochastic processes. And this is the object of study in this text.Analysis as a branch of mathematics, offers roughly, procedures by which we can respond in limit-finding problems: That is, where a function is about to converge to? Or if we are given a collection of functions, can we extract results about the convergence of this collection? Compactness plays a fundamental role in this direction.With this in mind, we look for compactness arguments so that we are lead to existence of limits. In probabilities, the concept of Martingale is more or less a compactness argument about a stochastic process: If we get the instance of a stochastic process at a given moment in time and look at it through the information of a previous moment, we'll fall back on the instance of the process at that previous moment. Not by chance, this argument of compactness, often comes as a natural law in a wide range of applications: from game theory, physics experiments, to stocks on the stock market.Despite the nice properties and naturality of Martingales, it is impossible to put into operation one of the most fundamental tools of analysis: the integral. Even continuous Martingales (i.e. processes whose trajectories are continuous functions) are inappopriate integrators in Lebesgue-Stieltjes integrals. This is where the Itô integral comes in.The Itô integral is therefore a generalization of the Lebesgue-Stieltjes integral over a whole stochastic process. It gives us the tools on which we can build differential equations for stochastic processes and consequently, tools with which we can predict the evolution of a stochastic process, a random natural system, etc.We here present the Itô integral for continuous Martingales and see some fundamental applications of it. We preferred to define the integral using the quadratic variation of a martingale.In the first chapter we present the general theory we will need as well as define the idea of quadratic variation.In the second chapter, we give very briefly the definition of Brownian motion. This is the most fundamental continuous Martingale pattern and perhaps the principal integrator in the Itô integral. Brownian motion is nothing other than the continuous version of the random walk.In the third chapter, we are ready to define the stochastic integral for continuous Martingales and to give a formula through which we can evaluate stochastic integrals in a similar way that we seek for antiderivatives in the classical integration theory. This is thefamous Itô formula.In the fourth chapter we will see the first applications of this formula. A key notion thatwill concern us is that of exponential Martingales, the laws they induce and how through these laws we can look at other Martingales. So we'll finally get –and stop, to the Girsanov Theorem, presented in its most modern version.

Subject :	Στοχαστικό ολοκλήρωμα Στοχαστικές ανελίξεις Λογισμός Itô Κίνηση Brown Stochastic integral Stochastic processes Itô Brownian motion Martingales

Date Available :	2024-09-27 16:14:06

Date Issued :	24-09-2024

Date Submitted :	2024-09-27 16:14:06

Access Rights :	Free access

Licence :

File: Psychogyios_2024.pdf

Type: application/pdf

Psychogyios_2024.zip

Login