Πλοήγηση ανά Επιβλέπων "Vakeroudis, Stavros"

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω

Τώρα δείχνει 1 - 4 από 4

Itô stochastic integral and applications
(24-09-2024) Ψυχογυιός, Λεωνίδας; Psychogyios, Leonidas; Athens University of Economics and Business, Department of Statistics; Yannacopoulos, Athanasios; Zazanis, Michael; Vakeroudis, Stavros
Μία στοχαστική ανέλιξη, είναι κατά κάποιον τρόπο μία συλλογή από μονοπάτια στον χρόνο, που επιλέγονται στα πλαίσια κάποιου νόμου (δηλαδή, μέτρου πιθανότητας). Τα μονοπάτια αυτά μπορούν να είναι είτε διακριτά –πχ ακολουθίες, είτε συναρτήσεις ορισμένες σε διαστήματα. Στην τελευταία περίπτωση έχουμε αυτό που λέμε στοχαστικές ανελίξεις συνεχούς χρόνου. Και αυτές μας απασχολούν σε αυτό το κείμενο.Η ανάλυση –ως κλάδος των μαθηματικών, προσφέρει χοντρικά, διαδικασίες με τις οποίες μπορούμε να απαντήσουμε σε προβλήματα εύρεσης ορίων: Δηλαδή, προς τα πού τείνει να πάει μία συνάρτηση; Ή αν μας δόσουν μια συλλογή συναρτήσεων, μπορούμε να εξάγουμε αποτελέσματα για το αν αυτή η συλλογή συγκλίνει κάπου; Η συμπάγεια παίζει θεμελιώδη ρόλο προς αυτή την κατεύθυνση.Έχοντας αυτό υπ' όψιν, αναζητούμε επιχειρήματα συμπάγειας, ώστε να πάρουμε αποτελέσματα ορίων. Στις πιθανότητες, η έννοια του Martingale είναι κατά κάποιο τρόπο ένα επιχείρημα συμπάγειας σε μια στοχαστική ανέλιξη: Αν πάρουμε την εικόνα μιας στοχαστικής ανέλιξης σε μια δεδομένη χρονική στιγμή και την κοιτάξουμε μέσα από την πληροφορία μιας πρότερης κατάστασης, θα ξαναπέσουμε πάνω στην πρότερη αυτή στιγμή. Καθόλου τυχαία, αυτό το επιχείρημα συμπάγειας, έρχεται συχνά ως φυσικός νόμος σε πληθώρα εφαρμογών: από τυχερά παιχνίδια, πειράματα φυσικής, μέχρι τις μετοχές στο χρηματιστήριο.Παρά τις καλές ιδιότητες και τη φυσικότητα των Martingales, είναι αδύνατο να θέσουμε σε λειτουργία ένα από τα βασικότερα εργαλεία της ανάλυσης: το ολοκλήρωμα. Ακόμα και τα συνεχή Martingales (δηλαδή ανελίξεις των οποίων οι τροχιές οι συνεχείς συναρτήσεις) είναι απρόσφοροι ολοκληρωτές σε ολοκληρώματα Lebesgue-Stieltjes. Εδώ είναι που έρχεται το ολοκλήρωμα Itô.Το ολοκλήρωμα Itô, είναι μία γενίκευση λοιπόν της ολοκλήρωσης Lebesgue-Stieltjes πάνω σε μία ολόκληρη στοχαστική ανέλιξη. Μας δίνει το εργαλείο πάνω στο οποίο μπορούμε να χτίσουμε διαφορικές εξισώσεις για στοχαστικές ανελίξεις και κατά συνέπεια, εργαλεία με τα οποία μπορούμε να προβλέψουμε την πορεία μιας ανέλιξης, ενός τυχαίου φυσικού συστήματος κλπ.Εμείς εδώ θα παρουσιάσουμε το ολοκλήρωμα Itô για συνεχή Martingales και θα δούμε μερικές βασικές εφαρμογές του. Προτιμήσαμε να ορίσουμε το ολοκλήρωμα μέσω της τετραγωνικής κύμανσης ενός martingale.Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε τη γενική θεωρία που θα μας χρειαστεί καθώς και ορίζουμε την έννοια της τετραγωνικής κύμανσης.Στο δεύτερο κεφάλαιο, δίνουμε πολύ συνοπτικά, την έννοια της κίνησης Brown. Πρόκειται για το βασικότερο πρότυπο συνεχούς Martingale και ίσως τον κυριότερο ολοκληρωτή στο ολοκλήρωμα Itô. Η κίνηση Brown δεν είναι τίποτα άλλο από τη συνεχή έκδοση του τυχαίου περιπάτου.Στο τρίτο κεφάλαιο, είμαστε έτοιμοι να ορίσουμε το στοχαστικό ολοκλήρωμα για τα συνεχή Martingales και να δώσουμε ένα τύπο μέσω του οποίου μπορούμε να υπολογίζουμε στοχαστικά ολοκληρώματα, με έναν τρόπο παρόμοιο με τον οποίο αναζητούμε αρχικές συναρτήσεις στην κλασσική ολοκλήρωση. Πρόκειται για τον περίφημο τύπο του Itô.Στο τέταρτο κεφάλαιο θα δούμε τις πρώτες βασικές εφαρμογές αυτού του τύπου. Μία βασική έννοια που θα μας απασχολήσει είναι τα εκθετικά Martingales, οι νόμοι που αυτά επάγουν και πώς μέσα από αυτούς τους νόμους μπορούμε να δούμε ξανά άλλα Martingales. Θα φτάσουμε λοιπόν τελικά –και θα σταματήσουμε, στο Θεώρημα Girsanov, παρουσιασμένο στην πιο σύγχρονή του εκδοχή.
Lévy processes: an introduction
(17-03-2025) Στουραΐτης, Παναγιώτης; Stouraitis, Panagiotis; Athens University of Economics and Business, Department of Statistics; Yannacopoulos, Athanasios; Zazanis, Michael; Vakeroudis, Stavros
Αυτή η διπλωματική εργασία παρέχει μια εισαγωγική επισκόπηση των διαδικασιών Lévy, μιας κατηγορίας στοχαστικών διαδικασιών που είναι σημαντική σε διάφορους τομείς, όπως τα χρηματοοικονομικά, η μηχανική και οι φυσικές επιστήμες. Ξεκινώντας από βασικές στοχαστικές έννοιες, εξετάζονται οι κύριες θεωρίες και οι μαθηματικές ιδιότητες των διαδικασιών Lévy, με έμφαση στα μοναδικά χαρακτηριστικά τους, όπως οι ανεξάρτητες και σταθερές αυξήσεις, καθώς και η ικανότητά τους να μοντελοποιούν άλματα σε διαδικασίες συνεχούς χρόνου. Η εργασία στοχεύει στην εισαγωγή βασικών πτυχών των διαδικασιών Lévy, καλύπτοντας το θεωρητικό τους υπόβαθρο, τις κύριες μαθηματικές τους σχέσεις και τις πιθανές εφαρμογές τους.
Stochastic differential equations
(2025-03-26) Tarasenko, Yulia; Zazanis, Michael; Yannacopoulos, Athanasios; Vakeroudis, Stavros
Stochastic differential equations serve as the foundation for many sections of applied sciences, such as mechanics, statistical physics, diffusion theory, cosmology, financial mathematics, economics, etc. The number of works devoted to various issues related to specific equations considered in individual areas of science listed above is very large. In this study, we consider only the general theory of stochastic differential equations, which is based on the approach initiated by K. Itô. In addition, we discuss simple analytical and numerical methods for solving such equations and, finally, we present an application in finance, namely, the Black and Scholes option price formula. In Chapter 1 we introduce basic notations and facts from the theory of stochastic processes, needed for the concept of Itô integrals in Chapter 2. In Section 1.2 we present the concept and some properties of Brownian motion which is one of the fundamental processes in mathematics and physics, as well as in natural science in general. In Chapter 2 we develop the Itô stochastic calculus, which has important applications in mathematical finance and stochastic differential equations. The theory of stochastic integration with respect to Brownian motion is developed in Section 2.1. In Section 2.2 we present the chain rule for stochastic calculus, commonly known, as the Itô formula. Chapter 3 returns to our main theme of stochastic differential equations. In this chapter, we present the stochastic differential equations, driven by Brownian motion, and the notions of strong and weak solutions. Section 3.1 is devoted to the theorem on the existence and uniqueness of a solution to a stochastic differential equation. In Section 3.2 we introduce the concept of a weak solution and the method for constructing such solutions by the Girsanov theorem. In Section 3.3 we give examples of stochastic differential equations and some analytical methods for solving them. In Section 3.4 we discuss two most popular numerical methods for solving (or simulating from) stochastic differential equations: the Euler-Maruyama method and the Milstein method. In Chapter 4 we introduce the necessary concepts from finance, and, finally, we present a proof of the Black-Scholes formula, which gives a theoretical estimate of the price of European-style options. Chapter 5 highlights areas for further research and perspectives.
Windings of planar Brownian motion and applications in finance
(31-08-2023) Συμιανάκης, Παναγιώτης; Symianakis, Panagiotis; Athens University of Economics and Business, Department of Statistics; Yannacopoulos, Athanasios; Zazanis, Michael; Vakeroudis, Stavros
Αυτή η διατριβή εµβαϑύνει στη µελέτη των "Περιελίξεων της δισδιάστατης Κίνησης Brown ϰαι των εφαρµογών τους στα Οιϰονοµιϰά", διερευνώντας τον συναρπαστιϰό ϰόσµο της στοχαστιϰής ανάλυσης στις οιϰονοµιϰές επιστήµες. Ξεϰινώντας µε µία ιστοριϰή ανασϰόπηση εισάγουµε βασιϰούς συµβολισµούς ϰαι διεισδύουµε στις ϰύριες ιδιότητες της µονοδιάστατης Κίνησης Brown, συµπεριλαµβανοµένης της Ισχυρής Μαρϰοβιανής Ιδιότητας, της Αρχής της Ανάϰλασης ϰαι της ιδιότητας Martingale. Επιπλέον, διερευνούµε τη φόρµουλα του Itô ϰαι την ταυτότητα του Bougerol δηµιουργώντας µια ισχυρή ϑεωρητιϰή βάση για τις επόµενες αναλύσεις µας. Στη συνέχεια, εξετάζονται βασιϰές ιδιότητες της Κίνησης Brown σε δύο διαστάσεις, εισάγοντας την αναπαράσταση "στρεβλού/λοξού γινοµένου (skew product)”, τους χρόνους εξόδου ϰαι τους µετασχηµατισµούς Laplace των χρόνων αυτών, ενώ αναφέρονται ϰαι µελετώνται η µέϑοδος ”pinching” του Williams ϰαι το ϑεώρηµα του Spitzer. Στη σφαίρα των οιϰονοµιϰών µαϑηµατιϰών, διερευνούµε τις επιπτώσεις των περιελίξεων της επίπεδης Κίνησης Brown, µε έµφαση στα ασιατιϰά διϰαιώµατα προαίρεσης ϰαι τις εϰϑετιϰά συναρτησιαϰά της Κίνησης Brown, ανοίγοντας νέες δυνατότητες για οιϰονοµιϰή µοντελοποίηση ϰαι εϰτίµηση ϰινδύνου. Τέλος, επιβεβαιώνουµε τα ϑεωρητιϰά µας ευρήµατα µέσω προσοµοιώσεων, υπολογίζοντας την τιµή ασιατιϰών διϰαιωµάτων αγοράς για εµπορεύµατα ϰαι µετοχές, ενισχύοντας την πραϰτιϰή εφαρµογή της έρευνάς µας σε πραγµατιϰά σενάρια. Αυτή η ολοϰληρωµένη έρευνα συµβάλλει σηµαντιϰά στην ϰατανόηση της στοχαστιϰής ανάλυσης ϰαι των απτών οφελών της στη λήψη οιϰονοµιϰών αποφάσεων.