Insurance risk models with ON/OFF process inputs

Abstract

Στην παρούσα διατριβή διερευνώνται επεκτάσεις του κλασικού μοντέλου Cramér–Lundberg στη θεωρία κινδύνου, με στόχο την ενσωμάτωση καθυστερημένων και κατανεμημένων εξοφλήσεων αποζημιώσεων και τη μοντελοποίηση σύνθετων χαρτοφυλακίων. Τα προτεινόμενα μοντέλα είναι επίσης κατάλληλα για την ανάλυση κυκλοφορίας σε δίκτυα υπολογιστών. Εξετάζεται μια ON/OFF πηγή με ανεξάρτητους ή συσχετισμένους κύκλους, και παρέχονται εκτιμήσεις πιθανότητας χρεοκοπίας μέσω γκαουσιανών διεργασιών και τεχνικών μεγάλων αποκλίσεων. Επιπλέον γίνεται ανάλυση επαλληλίας μεγάλου αριθμού μαρκοβιανών ON/OFF διεργασιών, οδηγώντας σε προσεγγίσεις τύπου διάχυσης και σε θεωρήματα ορίου για τις συνολικές αποζημιώσεις. Εισάγεται η έννοια της συνάρτησης δομής, η οποία περιγράφει στατιστικά χαρακτηριστικά των συμβολαίων ενός χαρτοφυλακίου, επιτρέποντας τη γενίκευση των οριακών διεργασιών σε γκαουσιανές μορφές με ειδικές συναρτήσεις συνδιακύμανσης. Αναλύονται περιπτώσεις όπου οι συναρτήσεις δομής ακολουθούν σύνθετες κατανομές, όπως πολυμεταβλητή Gamma ή Dirichlet. Θεμελιώνονται θεωρήματα ορίου για γενικευμένες τριγωνικές ON/OFF διεργασίες, με αποτέλεσμα την ανάδυση μιας νέας κατηγορίας διεργασιών, των Γενικευμένων Διεργασιών Κάλυψης με Απείρως Διαιρέσιμες Οριακές Κατανομές. Τέλος, παρουσιάζεται εφαρμογή μέσω προσομοίωσης, με την ανάπτυξη ενός εξομαλυνμένου εκτιμητή για την πιθανότητα χρεοκοπίας, που προσφέρει χαμηλότερη διασπορά από τον κλασικό Monte Carlo, με μέση βελτίωση έως 15%.

This thesis explores extensions of the classical Cramér–Lundberg model in risk theory, aiming to incorporate delayed and distributed claim settlements and portfolio-level modeling. The proposed models are also relevant to the study of traffic behavior in computer communication systems. A single ON/OFF source with independent and identically distributed cycles is investigated. Ruin probabilities are estimated through Gaussian process approximations and large deviation techniques. Correlated ON/OFF sources are also addressed via a bivariate exponential model, leading to a Laplace transform representation of the correlation function, which plays a central role in computing large deviation exponents. The focus then shifts to the superposition of many Markovian ON/OFF sources. Diffusion approximations are derived for the aggregate process and the reserve dynamics. Under appropriate scaling, the limiting behavior converges to an Ornstein–Uhlenbeck process. Heterogeneous portfolios are also considered, with conditions derived for convergence to a Gaussian process under suitable normalization. Furthermore, the concept of a structure function is introduced to statistically describe claim generation and settlement characteristics across a portfolio, leading to additional central limit results for claim process superpositions. The resulting Gaussian limits, though not necessarily Markovian, have covariance structures determined by the structure function. Extensions are presented for non-exponential ON-times, with Lindeberg–Feller theorems covering such cases. Specific structure distributions—multivariate Gamma, Pareto, Dirichlet, and inverse Dirichlet—are explored. A generalization of the previous results is examined using triangular arrays of ON/OFF processes with infinitely divisible marginal distributions, leading to a broader class of Generalized Coverage Processes. Classic models like M/M/∞ and M/GI/∞ arise as special cases. Finally, a simulation-based application introduces a smoothed estimator for the ruin probability and time in the red, achieving modest variance reduction over crude Monte Carlo methods.