Κίνηση Brown

Abstract

Η παρούσα Διπλωματική εργασία ασχολείται με την Κίνηση Brown, μία από τις πιο σημαντικές στοχαστικές διαδικασίες στη θεωρία πιθανοτήτων και τη μαθηματική χρηματοοικονομική. Αρχικά, γίνεται ανάλυση των στοχαστικών διαδικασιών, των martingales και της δεσμευμένης μέσης τιμής ως προς τους ορισμούς και τις ιδιότητες τους που αποτελούν θεμελιώδη εργαλεία για τη μελέτη της. Στη συνέχεια, παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και ιδιότητες της Κίνησης Brown, καθώς και η ιστορική της αναδρομή. Ειδική έμφαση δίνεται στο Ολοκλήρωμα Itô και στον τύπο του Itô, που επιτρέπουν τη μαθηματική περιγραφή της εξέλιξης τυχαίων φαινομένων. Επιπλέον, παρουσιάζεται η εφαρμογή της Κίνησης Brown στη χρηματοοικονομική, με επίκεντρο το μοντέλο Black-Scholes για την τιμολόγηση δικαιωμάτων προαίρεσης. Τέλος, εξετάζονται οι πρακτικές εφαρμογές της Κίνησης Brown σε διάφορους τομείς, όπως η φυσική, η βιολογία, η ανάλυση ιατρικών εικόνων και η τυχαία πλοήγηση ρομποτικών συστημάτων. Η εργασία ολοκληρώνεται με βιβλιογραφική ανασκόπηση και επίλογο που αναδεικνύουν τη σημασία της Κίνησης Brown στην ανάλυση και μοντελοποίηση στοχαστικών διαδικασιών.

This Thesis focuses on Brownian Motion, one of the most important stochastic processes in probability theory and mathematical finance. Initially, an analysis of stochastic processes, martingales, and conditional expectation is conducted in terms of their definitions and properties, as they constitute fundamental tools for its study. Subsequently, the basic concepts and properties of Brownian Motion are presented, along with its historical background. Special emphasis is placed on the Itô Integral and the Itô formula, which allow for the mathematical description of the evolution of random phenomena. Furthermore, the application of Brownian Motion in finance is examined, with a focus on the Black-Scholes model for option pricing. Finally, the practical applications of Brownian Motion in various fields, such as physics, biology, medical image analysis, and random navigation of robotic systems, are explored. The study concludes with a literature review and final remarks highlighting the significance of Brownian Motion in the analysis and modeling of stochastic processes.