Θεωρία παιγνίων

Abstract

Η διπλωματική αυτή εργασία γίνεται στο πλαίσιο του μεταπτυχιακού προγράμματος σπουδών στο Τμήμα Στατιστικής με κατεύθυνση στις Ποσοτικές Μεθόδους Λήψης Αποφάεσων. Στόχος είναι η μελέτη της Θεωρίας Παιγνίων, όπως αυτή αναπτύχθηκε από τον J. Neumann, τον J.Nash και πολλούς ακόμα. Τα παιγνία παίρνουν την μορφή μιας προσπάθειας μοντελοποίησης φυσικών προβλημάτων. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια ιστορική αναδρομή και μια επαρκής εισαγωγή στην έννοια της μαθηματικής μοντελοποίησης. Στο δεύτερο κεφάλαιο αναπτύσσεται η έννοια του γραμμικού προγραμματισμού για την εισαγωγή στο βασικό Θέμα της Θεωρίας Παιγνίων. Στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται μια ανάλυση των παιγνίων, της μορφής τους, της υπάρξης σημείων σταθερής ισορροπίας. Εισάγαγεται η ισορροπία κατά Nash με την βοήθεια δύο παραδειγμάτων. Η επέκταση σε μικτές στρατηγικές γίνεται μια ανάγκη για την εύρεση σημείων ισορροπίας σε διάφορα παίγνια. Το κεφάλαιο κλείνει με το θεώρημα Minimax. Τέλος στο τέταρτο κεφάλαιο αναπτύσσονται τα εξελικτικά παίγνια. Διατυπώνεται η εξίσωση του αντιγραφέα και αποδεικνύονται οι σημαντικότερες ιδιότητες αυτής. Διαπιστώνεται η σύνδεση της με έννοιες που ορίστηκαν στα προηγούμενα κεφάλαια, ενώ μελετάται αναλυτικά η εξίσωση αυτή για δύο παίγνια.Η διπλωματική αυτή εργασία γίνεται στο πλαίσιο του μεταπτυχιακού προγράμματος σπουδών στο Τμήμα Στατιστικής με κατεύθυνση στις Ποσοτικές Μεθόδους Λήψης Αποφάεσων. Στόχος είναι η μελέτη της Θεωρίας Παιγνίων, όπως αυτή αναπτύχθηκε από τον J. Neumann, τον J.Nash και πολλούς ακόμα. Τα παιγνία παίρνουν την μορφή μιας προσπάθειας μοντελοποίησης φυσικών προβλημάτων. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια ιστορική αναδρομή και μια επαρκής εισαγωγή στην έννοια της μαθηματικής μοντελοποίησης. Στο δεύτερο κεφάλαιο αναπτύσσεται η έννοια του γραμμικού προγραμματισμού για την εισαγωγή στο βασικό Θέμα της Θεωρίας Παιγνίων. Στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται μια ανάλυση των παιγνίων, της μορφής τους, της υπάρξης σημείων σταθερής ισορροπίας. Εισάγαγεται η ισορροπία κατά Nash με την βοήθεια δύο παραδειγμάτων. Η επέκταση σε μικτές στρατηγικές γίνεται μια ανάγκη για την εύρεση σημείων ισορροπίας σε διάφορα παίγνια. Το κεφάλαιο κλείνει με το θεώρημα Minimax. Τέλος στο τέταρτο κεφάλαιο αναπτύσσονται τα εξελικτικά παίγνια. Διατυπώνεται η εξίσωση του αντιγραφέα και αποδεικνύονται οι σημαντικότερες ιδιότητες αυτής. Διαπιστώνεται η σύνδεση της με έννοιες που ορίστηκαν στα προηγούμενα κεφάλαια, ενώ μελετάται αναλυτικά η εξίσωση αυτή για δύο παίγνια.

The present thesis is carried out within the framework of the postgraduate study program in the Department of Statistics in the direction of Quantitative Methods of Decision Making. The purpose of this thesis is the analysis of the Game Theory, as it was developed by J. Neuwmann, J.Nash and many others. Games take the form of an attempt to model physical problems. In the first chapter there is a historical retrospective and an adequate introduction to the concept of mathematical modeling.The second chapter is a development of linear programming with a purpose of a smooth transition to our subject of Game Theory. The third chapter is an analysis of the games, their form, the existence of points of constant equilibrium. The Nash equilibrium is presented by the use of two examples. In order to find equilibrium points, mixed strategies are introduced. The chapter closes with the Minimax theorem. Finally, in the fourth chapter, evolutionary games are analysed. The replicator equation is formulated and the most important properties are proven. Its connection with the concepts which are defined in the previous chapters is observed easily now, and furthermore this equation is studied in two games