CUSUM from a Bayesian perspective

Abstract

The basic purpose of this thesis is to study the Classic Cumulative Sum method of Statistical Process Control (SPC), from a Bayesian prism. We consider the hypothesis testing problem of two possible models. Model under H0 will be the model of the in control situation and model under H1 will be the model of the out of control situation for a process. We wish to decide whether the model under H1, has been more plausible than the model under 𝐻0, or not. In other words, we want to decide whether a process has gone from an in control to an out of control situation. The CUSUM charting is designed to detect small but persistent shifts of a process’ characteristic as soon as possible, giving the optimal in control Average Run Length for a particular shift. From a Bayesian point of view, we consider the hypothesis testing problem as a decision theory problem, and using Bayes test theorem, we construct the Bayesian CUSUM. Due to the optimality properties of CUSUM (Moustakides (1986)), we aim to prove that the two forms are equivalent, thus, the Bayesian CUSUM we have constructed will be an optimal scheme for detecting a persistent shift in a process’ characteristic.

Βασικός σκοπός αυτής της διατριβής είναι η μελέτη του CUSUM Chart υπό το πρίσμα της Μπευζιανής στατιστικής. Θεωρούμε ένα πρόβλημα ελέγχου υποθέσεων το οποίο αποτελείται από δύο μοντέλα. Το μοντέλο υπό την H0, όπου η παραγωγική διαδικασία βρίσκεται στην εντός ελέγχου κατάσταση και το μοντέλο υπό την H1, που είναι το μοντέλο όπου η παραγωγική διαδικασία βρίσκεται στην εκτός ελέγχου κατάσταση. Στόχος μας είναι να αναγνωρίσουμε πότε το μοντέλο υπό την H1, θα γίνει πιο πιθανό από το μοντέλο υπό την H0, δηλαδή πότε η παραγωγική διαδικασία θα περάσει από την εντός ελέγχου κατάσταση, στην εκτός ελέγχου κατάσταση. Το CUSUM είναι σχεδιασμένο έτσι ώστε να ανιχνεύει μικρές αλλά συνεχείς μεταβολές σε κάποιο χαρακτηριστικό μιας παραγωγικής διαδικασίας, το συντομότερο δυνατό, δίνοντας το βέλτιστο in control Average Run Length για την συγκεκριμένη μεταβολή για την οποία έχει σχεδιαστεί. Στην Μπευζιανή προσέγγιση θεωρούμε το πρόβλημα ελέγχου υποθέσεων ως πρόβλημα αποφάσεων και χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Bayes test, κατασκευάζουμε το Bayesian CUSUM. Επειδή έχει αποδειχθεί ότι το CUSUM δίνει το βέλτιστο in control Average Run Length για την ανίχνευση μεταβολής του χαρακτηριστικού μιας διαδικασίας (Μουστακίδης (1986)), σκοπός μας είναι να δείξουμε ότι οι δύο μορφές του CUSUM είναι ισοδύναμες. Οπότε, θα αποδείξουμε ότι το Bayesian CUSUM που έχουμε κατασκευάσει είναι ένα αξιόλογο εργαλείο για την γρήγορη ανίχνευση της μεταβολής μιας παραγωγικής διαδικασίας στην εκτός ελέγχου κατάσταση.