Option pricing: an empirical evaluation of higher-moment and risk-neutral approaches

Abstract

This thesis examines discrete distribution–based approaches to option pricing, focusing on the comparative performance of three methodologies: the Black–Scholes (BS) model, the Corrado–Su (CS) approach incorporating higher moments such as skewness and kurtosis, and a Risk–Neutral (RN) approach implemented through scenario generation and constrained optimization. The study is motivated by the limitations of the BS model, particularly its assumptions of lognormal asset prices and constant volatility, which have been repeatedly challenged by empirical evidence. By extending the analysis to approaches that incorporate higher moments or risk neutral probabilities, the thesis seeks to assess whether these alternatives provide more accurate and robust pricing methods. The empirical application considers European-style options on the S&P 500 index across two distinct market environments: September 30, 2022, representing a bearish environment characterized by prolonged downturns, and October 31, 2024, reflecting a bullish environment marked by consecutive recovery and optimism. For each regime, estimated prices from the three models were compared against observed market prices for multiple strike prices spanning ITM, ATM, and OTM regions. Model performance was evaluated using mean absolute error (MAE), root mean squared error (RMSE) and mean absolute percentage error (MAPE). The results confirm the limitations of the BS framework. While it provides a solid benchmark and performs reasonably well for ITM options, it systematically underprices OTM options and fails to capture higher-moment effects, particularly in bearish conditions. The CS approach improves pricing accuracy across both regimes, especially near the ATM region, by incorporating skewness and kurtosis. Its effectiveness is most evident under the bearish environment, where return distributions exhibit heavy left tails. However, in the bullish environment, CS occasionally mispriced OTM options, particularly overpricing ITM puts and OTM calls. The RN approach displayed mixed performance, where it underpriced options and delivered higher errors in the bearish environment compared to the other approaches but performed comparatively better in the bullish environment, especially for deep OTM calls and deep ITM puts, where it provided valuations close to market prices. Overall, the findings demonstrate that model choice depends on both market conditions and option moneyness. CS emerges as the most consistent alternative to BS, offering more accurate pricing with modest computational complexity, while the RN approach contributes valuable insights at the extremes of the distribution. The study underscores the need for option pricing models that go beyond the restrictive assumptions of BS and incorporate empirical features of asset returns. By providing a comparative evaluation of discrete distribution–based methodologies, this thesis contributes to the ongoing discussion in both academia and practice regarding optimal approaches for pricing options under different market environments.

Η παρούσα διπλωματική εργασία εξετάζει μεθόδους αποτίμησης δικαιωμάτων προαίρεσης που βασίζονται σε διακριτές κατανομές, εστιάζοντας στη συγκριτική αξιολόγηση τριών προσεγγίσεων: το υπόδειγμα Black–Scholes (BS), την προσέγγιση Corrado–Su (CS), η οποία ενσωματώνει ανώτερες (higher-order) ροπές όπως ασυμμετρία (skewness) και κύρτωση (kurtosis), και την Risk–Neutral (RN) προσέγγιση, η οποία υλοποιείται μέσω δημιουργίας σεναρίων και βελτιστοποίησης υπό περιορισμούς. Το κίνητρο για τη μελέτη αυτή προέρχεται από τους περιορισμούς του υποδείγματος BS, ιδίως από τις υποθέσεις του περί λογαριθμοκανονικής κατανομής των τιμών των περιουσιακών στοιχείων και σταθερής μεταβλητότητας, οι οποίες έχουν επανειλημμένα αμφισβητηθεί από την εμπειρική έρευνα. Επεκτείνοντας την ανάλυση σε προσεγγίσεις που ενσωματώνουν ανώτερες ροπές ή risk-neutral πιθανότητες, η εργασία αποσκοπεί στην αξιολόγηση του κατά πόσο αυτές οι εναλλακτικές μέθοδοι παρέχουν πιο ακριβή και αξιόπιστα αποτελέσματα αποτίμησης. Η εμπειρική εφαρμογή αφορά δικαιώματα προαίρεσης ευρωπαϊκού τύπου επί του δείκτη S&P 500, σε δύο διακριτά καθεστώτα αγοράς: την 30ή Σεπτεμβρίου 2022, που αντιπροσωπεύει μια πτωτική (bearish) περίοδο με παρατεταμένη υποχώρηση της αγοράς, και την 31η Οκτωβρίου 2024, που αντανακλά μια ανοδική (bullish) περίοδο ανάκαμψης και αισιοδοξίας. Για κάθε καθεστώς, οι τιμές που εκτιμήθηκαν με τα τρία υποδείγματα συγκρίθηκαν με τις παρατηρούμενες τιμές αγοράς για πολλαπλές τιμές εξάσκησης, καλύπτοντας περιοχές ITM, ATM και OTM. Η απόδοση των υποδειγμάτων αξιολογήθηκε μέσω δεικτών, όπως το μέσο απόλυτο σφάλμα (MAE), τη ρίζα μέσου τετραγωνικού σφάλματος (RMSE) και το μέσο απόλυτο ποσοστιαίο σφάλμα (MAPE). Τα αποτελέσματα επιβεβαιώνουν τους περιορισμούς του υποδείγματος BS. Αν και προσφέρει ένα σταθερό σημείο αναφοράς και αποδίδει ικανοποιητικά για ITM δικαιώματα προαίρεσης, υποτιμά συστηματικά τα OTM δικαιώματα προαίρεσης και αδυνατεί να αποτυπώσει τις επιδράσεις των ανώτερων ροπών, ιδιαίτερα σε πτωτικές συνθήκες αγοράς. Η προσέγγιση CS βελτιώνει την ακρίβεια αποτίμησης και στα δύο καθεστώτα, ιδίως στην περιοχή ATM, ενσωματώνοντας ασυμμετρία και κύρτωση στην κατανομή. Η αποτελεσματικότητά της είναι πιο εμφανής στο πτωτικό καθεστώς, όπου οι κατανομές αποδόσεων παρουσιάζουν έντονη συγκέντρωση στο αριστερό άκρο της κατανομής. Ωστόσο, σε ανοδικό καθεστώς, η μέθοδος CS παρουσίασε περιστασιακές αποκλίσεις, υπερτιμώντας ITM puts και OTM calls. Η προσέγγιση RN εμφάνισε μικτά αποτελέσματα: υποτίμησε τις τιμές και παρήγαγε υψηλότερα σφάλματα στο πτωτικό καθεστώς, αλλά απέδωσε συγκριτικά καλύτερα στο ανοδικό, ιδίως για deep OTM calls και deep ITM puts, όπου οι εκτιμήσεις της προσεγγίζουν περισσότερο τις τιμές αγοράς. Συνολικά, τα αποτελέσματα αναδεικνύουν ότι η επιλογή υποδείγματος εξαρτάται τόσο από τις συνθήκες της αγοράς όσο και από το επίπεδο moneyness. Η προσέγγιση CS αναδεικνύεται ως η πιο συνεπής εναλλακτική του BS, προσφέροντας μεγαλύτερη ακρίβεια αποτίμησης με περιορισμένη υπολογιστική πολυπλοκότητα, ενώ η RN προσέγγιση παρέχει πολύτιμες πληροφορίες στα άκρα της κατανομής. Η μελέτη υπογραμμίζει την ανάγκη για υποδείγματα αποτίμησης δικαιωμάτων προαίρεσης που υπερβαίνουν τους περιορισμούς του υποδείγματος BS και ενσωματώνουν εμπειρικά χαρακτηριστικά των αποδόσεων των περιουσιακών στοιχείων. Μέσα από μια συγκριτική αξιολόγηση μεθοδολογιών που βασίζονται σε διακριτές κατανομές, η εργασία συμβάλλει στη συνεχιζόμενη συζήτηση, τόσο στην ακαδημαϊκή έρευνα όσο και στην επενδυτική πρακτική, σχετικά με τις βέλτιστες προσεγγίσεις για την αποτίμηση δικαιωμάτων προαίρεσης υπό διαφορετικά καθεστώτα της αγοράς.